表面上看，音乐与数学一个感性一个理性，风马牛不相及，其实不是的。德国著名哲学家莱布尼茨曾说过：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”接下来，就让我们一起走进朱载堉纪念馆，解密数学与音乐之间的那些弯弯绕绕。

　　朱载堉纪念馆坐落在河南省沁阳市老城区内，是在“郑藩乐府旧址”的基础上建立的一座历史名人专题纪念馆。朱载堉是明代伟大的科学家、音乐家、数学家、乐律学家、艺术家。他有很多令人难以置信的、多学科多领域的成就，是一位百科全书式的人物。

三分损益法

　　乐音的音高是由波长决定的，而波长又由弦长决定。在弦的粗细和松紧程度一定的情况下，两个相差八度的音，弦长是倍半关系，例如高音do和中音do，高音do的弦长是中音do的0.5倍，也可以说中音do的弦长是高音do的2倍。

　　人们选取一定波长的音，来形成音乐体系所需要的音高。现在，我们在音乐中将一个八度分为12个半音，古人将这种方法称为“十二律”。中国古代的三分损益法，是在起始音的弦长上加上或减去其1/3的数学方法，以此确定各律的相对音高或音程关系。以起始音的弦长乘以2/3，得到次律；再将次律乘以4/3，又得次一律；再乘以2/3……依次乘12次，就可以完成一个八度中的十二个律的数值计算。

　　因为2/3、4/3都是除不尽的数，用三分损益法无论做多少次计算，都无法获得音乐上八度的整数比值，这就是不能“返宫”。例如，将一个弦长为a的音为起点，用三分损益法得到的十二律中其他弦长都不可能是a/2，所以每一个八度都会产生一点点误差。

钢琴键盘上从C到B的一个八度音阶

朱载堉的十二等程律

　　为此，朱载堉创立新法，他说：“置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。”密率即为十二等程律（又称十二平均律）的公比数——2的12次方根，数值约为1.059463。朱载堉口中的新法，是有别于传统律制的三分损益计算方法，虽然这旧法已经沿用了几千年，朱载堉仍然毫不客气地抛弃了它。那么他的新法是如何完成的呢？

朱载堉的81档巨型算盘

一尺有多长

　　一尺有多长呢？为什么这么长就是一尺呢？你想过这个问题吗？

　　古人把90颗黍（shǔ）粒一个挨着一个排起来，说这就是一尺的长度，这个方法叫“累黍定尺”法。古书上说，黄钟的标准音就是用一尺长的竹子吹出来的。

　　朝代变迁，一尺的长度变来变去，朱载堉要想知道古代的音高标准，就得确定一尺的长度。古书上说，山西羊头山的黍粒是最标准的，他就亲自去采摘黍粒自己种，他种了好几百亩呢！

　　收获以后，他让眼睛明亮的青少年从成堆的黍粒中，挑选大小均匀的，并挨个排在涂了糨糊的白纸上。你可别以为粘贴好就行了，这些黍粒，还要同时满足其他条件才算定尺成功，而这就要运用度量衡的历史知识了。

　　总之，朱载堉用这种方法来研究古代音高与发音物体长度的关系，在他的手里摆弄过多少颗黍粒，我们就不得而知了。

　　朱载堉不仅在乐律与数学方面大有成就，在天文、舞蹈等领域也颇有建树。但他一生淡泊名利，死后也只留了一块无字石碑，正如他在散曲集《醒世词》中写道的：“生前有一院,死后有一丘，足矣。”

　　（责任编辑 / 张丽静 美术编辑 / 周游）